光学 期中复习

😇

几何光学

惠更斯原理

波前上的每一点都可以看作一个新扰动源，向周围激发出球面的次波
下一时刻的波前是大量次波面的公共切面（包络面）
如果传播的波具有频率 $ν$ ，并且以速度 $v$ 穿过介质，则次波具有相同的频率和速度
缺点：没有干涉的概念

费马原理

光线沿光程为平稳值的路径传播

δ \int_{P}^{Q} n (\vec{r}) d s = 0

成像公式

球面折射成像

\frac{n}{s} + \frac{n^{'}}{s^{'}} = \frac{n^{'} - n}{r}

薄透镜

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})

高斯透镜公式

\frac{1}{s} + \frac{1}{s^{'}} = \frac{1}{f}

牛顿公式

x_{i} x_{o} = f^{2}

放大率

\begin{aligned} M_{T} & \equiv \frac{y_{i}}{y_{o}} = - \frac{s_{i}}{s_{o}} = - \frac{x_{i}}{f} = - \frac{f}{x_{o}} \\ M_{L} & \equiv \frac{d x_{i}}{d x_{o}} = - \frac{f^{2}}{x_{o}^{2}} = - M_{T}^{2} \end{aligned}

密接透镜组

\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}

球面反射镜

\frac{1}{s} + \frac{1}{s^{'}} = - \frac{2}{r}

f = - \frac{r}{2}

反射镜的符号约定

物、像在左侧为正，右侧为负（与透镜相反）
球心在右侧为正，左侧为负（与透镜相同）
貌似和正常的符号约定是反的，懒得理解

光阑与光瞳

孔径光阑：限制到达光的数量
视场光阑：限制成像的范围
光瞳：视场光阑的像

相对孔径与光圈数

\begin{aligned} Energy & \propto D^{2} \\ Energy & \propto \frac{1}{Size of image} \\ Size of image & \propto y_{i}^{2} \propto f^{2} \\ Because \frac{y_{i}}{y_{o}} & = M_{T} = - \frac{f}{x_{o}} \\ 相对孔径 & = \frac{D}{f} \\ f / # & \equiv \frac{f}{D} \end{aligned}

光圈数越小，越多光到达

光学仪器

屈光度

D = \frac{1}{f (m)}

散光

视网膜不规则曲率

角度放大率

M = \frac{ω^{'}}{ω}

目视仪器放大率：明视距离下有仪器辅助时和裸眼观察时视网膜像的视角之比

数值孔径

NA = n_{i} \sin θ_{max}

放大率 = \frac{{NA}_{image}}{{NA}_{object}}

景深

对焦平面外，可接受的，有较好对焦效果的距离

色散棱镜

最小偏转角：棱镜内光线平行底面

光纤的数值孔径与光圈

f / # = \frac{1}{2 NA}

齐明点

阿贝正弦条件

n y \sin u = n^{'} y^{'} \sin u^{'}

齐明点：在光轴上已消除球差且满足阿贝正弦条件的共轭点

齐明点附近的傍轴小物可以宽光束严格成像

厚透镜

主平面：平行于光轴的入射光线与它们的出射光线交点构成的平面
主点：主平面与光轴的交点
光心：所有出射方向平行于入射方向的光线穿过的同一个点
节点：穿过光心的光线发生横向移动而方向不变，入射光线和出射光线的延长线与光轴的交点称为节点。当透镜两侧是同一介质时节点与主点重合
基点：两个焦点 + 两个主点 + 两个节点

矩阵光学

用 $(n α, y)$ 描述光线

折射矩阵

\begin{aligned} R & = [\begin{matrix} 1 & - D \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ where D & = \frac{n_{t} - n_{i}}{R} \end{aligned}

传输矩阵

T = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{d_{21}}{n} & 1 \end{matrix}]

反射矩阵

M = [\begin{matrix} - 1 & - \frac{2 n}{R} \\ 0 & 1 \end{matrix}]

透镜

A = [\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{f} \\ 0 & 1 \end{matrix}]

光的电磁理论

麦克斯韦方程组

\begin{aligned} \nabla \cdot E & = \frac{ρ}{ε_{0}} \\ \nabla \times E & = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \cdot B & = 0 \\ \nabla \times B & = μ σ E + μ ε \frac{\partial E}{\partial t} \\ D & = ε E \\ H & = \frac{1}{μ} B \\ J & = σ E \end{aligned}

矢量算符

\nabla \equiv (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

拉普拉斯算子

\nabla^{2} f \equiv (\nabla \cdot \nabla) f = (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) f

作用于矢量函数

\nabla^{2} \vec{F} \equiv (\nabla^{2} F_{x}, \nabla^{2} F_{y}, \nabla^{2} F_{z})

\nabla \times (\nabla \times \vec{F}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{F}) - \nabla^{2} \vec{F}

电磁波方程

v = \frac{1}{\sqrt{μ ε}} = \frac{c}{n}

c = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}}

c B_{0} = E_{0}

同步振动

能量

真空中磁场和电场携带能量相等

坡印亭矢量（能流密度）

S = E \times H

真空中

S = c^{2} ε_{0} (E \times B)

能流密度

能流密度：单位面积单位时间内通过的能量

能流密度 = 能量密度 \times 能量流动速度

辐照度（光强）：能流密度对时间取平均。对线性、均匀、各向同性的电介质

I = \frac{1}{2} c n ε_{0} E_{0}^{2}

辐射压强

等于电磁波的能量密度

完全反射

⟨ P ⟩_{T} = 2 \frac{⟨ S ⟩_{T}}{c}

光子

\begin{aligned} E & = h ν \\ p & = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ} \end{aligned}

波动光学基础

为什么只考虑电场

对运动的电荷，只要速度远小于 $c$ ，磁场对电荷的作用力远小于电场对电荷的作用力

波矢 $\vec{k}$
波数 $1 / λ$

复振幅

\tilde{U} (P) = A (P) e^{i φ (P)}

常见波

平面波

\tilde{U} (\vec{r}) = A e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}

球面波

\tilde{U} (r) = \frac{a}{r} e^{i k r}

柱面波

\tilde{U} (r) = \frac{b}{\sqrt{r}} e^{i k r}

相速

某个固定相位条件的传播速度/波的轮廓的传播速度

对平面简谐波，等于 $v = \frac{ω}{k}$

相对光强

相同介质

I = {| \tilde{U} (P) |}^{2} = \tilde{U} (P) {\tilde{U}}^{*} (P) = A^{2} (P)

波前函数

复振幅在面上的值

傍轴球面波近似

泰勒展开 $r$ 到二阶，分别考虑傍轴和远场

r = \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + z^{2}} \approx z + \frac{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}}{2 z}

傍轴 $z^{2} ≫ ρ^{2}$ , $z^{2} ≫ ρ_{0}^{2}$
远场 $z ≫ \frac{ρ^{2}}{λ}$ , $z ≫ \frac{ρ_{0}^{2}}{λ}$

光学频段 $ρ ≫ λ$ ，故远场距离远大于傍轴距离

界面电磁理论

利用电场强度切线分量跨界面连续，证明反射、折射定律

菲涅尔公式

\begin{aligned} r_{⟂} & = \frac{n_{i} \cos θ_{i} - n_{t} \cos θ_{t}}{n_{i} \cos θ_{i} + n_{t} \cos θ_{t}} = - \frac{\sin (θ_{i} - θ_{t})}{\sin (θ_{i} + θ_{t})} \\ r_{∥} & = \frac{n_{t} \cos θ_{i} - n_{i} \cos θ_{t}}{n_{t} \cos θ_{i} + n_{i} \cos θ_{t}} = + \frac{\tan (θ_{i} - θ_{t})}{\tan (θ_{i} + θ_{t})} \\ t_{⟂} & = \frac{2 n_{i} \cos θ_{i}}{n_{i} \cos θ_{i} + n_{t} \cos θ_{t}} \\ t_{∥} & = \frac{2 n_{i} \cos θ_{i}}{n_{t} \cos θ_{i} + n_{i} \cos θ_{t}} \end{aligned}

适用条件

绝缘介质（电介质）
各向同性介质
线性介质
光学频段，磁导率 $μ \approx μ_{0}$

布儒斯特角

\tan θ_{B} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

光强反射率/透射率

\begin{aligned} R & = r^{2} \\ T & = \frac{n_{t}}{n_{i}} t^{2} \end{aligned}

光功率反射率/透射率

\begin{aligned} R & = R \\ T & = \frac{n_{t} \cos θ_{t}}{n_{i} \cos θ_{i}} t^{2} = \frac{\cos θ_{t}}{\cos θ_{i}} T \end{aligned}

R + T = 1

半波损

几何光程需要加半个波长

隐失波

全反射时，折射光波在界面处产生的指数衰减波

k = \frac{2 π}{λ} \sqrt{{(n_{i} \sin θ_{i})}^{2} - n_{t}^{2}}

干涉

干涉条件

频率相同
振动方向不正交
相位差稳定

叠加光强

\begin{aligned} I & = I_{1} + I_{2} & 非相干叠加 \\ I & = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos δ & 相干叠加 \end{aligned}

衬比度

γ = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{2 \sqrt{I_{1} I_{2}}}{I_{1} + I_{2}}

改写相干叠加光强公式

I = (I_{1} + I_{2}) (1 + γ \cos δ)

点光源/平行光束的干涉

求解复振幅，计算相位差

自然光可以分解为 $s$ 光和 $p$ 光，并且有 $I_{s} = I_{p} = \frac{1}{2} I_{0}$

两列光强相同，夹角为 $α$ 的平行自然光束干涉，衬比度为

γ = \frac{1}{2} (1 + \cos α)

空间频率

f = \frac{1}{Δ x}

杨氏双缝

Δ x = \frac{λ L}{d}

文件历史

content: (optics mid-term) correction 0d576f4

2025 年 11 月 5 日 01:23Jason Dai

content: (optics mid-term) minor fix 430a0b2

2025 年 11 月 4 日 14:41djdjz7

content: minor additions on optics mid-term revision notes cf42c80

2025 年 11 月 3 日 15:09djdjz7

content: optics mid-term revision ba2d1ce

2025 年 11 月 3 日 13:14djdjz7

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